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domingo, 1 de junio de 2014

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION CONCEPTO Y EJEMPLOS

Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango.

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable.

Dominio y Rango: Ejemplos y Notación

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos. Ya que el tiempo transcurre continuamente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mando estaba a 3 pies del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 12 pies también con respecto al suelo, entonces el rango es de 3-12 pies. Ya que la altura cambia constantemente durante éste intervalo, no podemos escribir cada posible salida, sólo el valor inicial y el valor final.

Ahora veamos otro ejemplo de dominio y rango, Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

Dominio: {1, 2, 3}

El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.

Rango: {1, 5, 9}

Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

Dominio: {1, 2, 3, …}

Rango: {1, 5, 9, …}

Jamie vende pasteles caseros en $15 cada uno. La cantidad de dinero que gana es una función de cuántos pasteles puede vender: $0 si no vende ninguno, $15 si sólo vende uno, $30 si vende 2, y así sucesivamente. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función?

A) Dominio: {0, 15, 30, …} Rango: {0, 1, 2, …}

B) Dominio: {0, 1, 2, …} Rango: {0, 15, 30, …}

C) Dominio: {0, 1, 2} Rango: {0, 15, 30}

D) Dominio: todos los números mayores o iguales a 0

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Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados

Las relaciones también pueden ser mostradas como tablas o como conjuntos de pares ordenados. Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y cuando recordemos qué es lo que significan los términos. Si una relación matemática es dada en una tabla, los valores independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras que los valores dependientes normalmente se ponen en la columna derecha.

Valor Independiente	Valor Dependiente
-1	7
2	-3
5	6
9	4

El dominio se puede encontrar al leer la primera columna {-1, 2, 5, 9}. El rango es todos los valores de la segunda columna {7, -3, 6, 4}.

Cuando se trata de conjuntos de pares ordenados, simplemente necesitamos separar los pares en coordenadas x y coordenadas y. Ya que las coordenadas x conforman los valores independientes, nos dan el dominio. Las coordenadas y son los valores dependientes, lo que significa que son el rango. Intentémoslo.

En el conjunto de pares ordenados {(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}, el dominio es el conjunto de los primeros números de cada par (esos son las coordenadas x): {-2, 0, 2, 4}. El rango es el conjunto de los número que conforman el segundo componente de cada par (esos son las coordenadas y): {0, 6, 12, 18}.

{(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}

Dominio: {-2, 0, 2, 4}.

Rango: {0, 6, 12, 18}

Esta tabla describe y como una función de x.

¿Cuál de las siguientes respuestas describe correctamente el valor de 2?

A) Es parte del rango.

B) Es una salida.

C) Es un valor dependiente.

D) Es parte del dominio.

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Dominio y Rango: Gráficas

También podemos representar funciones y relaciones con gráficas. La cantidad independiente normalmente se grafica en el eje horizontal (x) — lo que significa que los puntos en la coordenada x son el dominio. Como la cantidad dependiente normalmente se grafica en el eje vertical (y) , las coordenadas y conforman el rango. Veamos algunas gráficas para entender cómo funciona esto.

Primero, examina la gráfica de puntos discretos. Los únicos valores que conocemos que satisfacen la ecuación son los marcados con puntos. Simplemente leemos las coordenadas x, y los colocamos en un conjunto de valores que representan el dominio. Luego leemos las coordenadas y, y los ponemos en el rango. Para ésta gráfica, el dominio es {-2, 0, 2, 4}. Y el rango es {0, 6, 12, 18}.

Ahora veamos un tipo de gráfica diferente, en el cual la función es una recta continua, que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. Esto significa que hay un número infinito de valores que son parte de la función. Para ésta función, no hay restricciones para el dominio ni para el rango. Cualquier número real puede ser una entrada o una salida. Esto significa que todos los números, enteros, fracciones y otros números racionales, incluso números irracionales, son parte del dominio y parte del rango. Como no podemos escribir todas estas posibilidades, simplemente decimos que el dominio y el rango son todos los números reales.

En algunas situaciones sólo uno de los dos, el dominio o el rango, está restringido. Considera la gráfica del valor absoluto de la función, y = |x|. La línea se extiende indefinidamente en ambas direcciones sobre el eje x, por lo que el dominio son todos los números reales. Sin embargo, como el valor absoluto transforma cualquier valor negativo en uno positivo, no existen valores negativos en el rango. El rango está formado de todos los números reales mayores o iguales a 0 — aunque siguen siendo demasiados como para escribirlos todos.

Sumario

Las funciones pueden definirse usando palabras, símbolos, gráficas, tablas o conjuntos de pares ordenados, pero en cada caso las características son las mismas. El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función. El dominio y el rango pueden estar limitados a unos pocos valores discretos o pueden incluir todos los números reales, hasta el infinito y más allá.

http://youtu.be/JCuLyhDke9E

VALOR ABSOLUTO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION

En matemática, el valor absoluto o módulo^[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real

a\,

está definido por:^[2]

|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .

Por definición, el valor absoluto de

a\,

siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real

a\,

es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|\,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 \iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| \le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| \ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\left\| \frac {a}{b}\right\| = \frac {\|a\|}{\|b\|} (si \ b \ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$
$|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$\|x-3\| \le 9$	$\iff -9 \le x-3 \le 9$
	$\iff -6 \le x \le 12$

El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto

(\R,|\cdot|)

es un espacio de Banach.^{[cita requerida]}

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo

z\,

es la distancia

r\,

desde

z\,

al origen. Aquí vemos que

z\,

y su conjugado

\bar{z}\,

tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

|a| = \sqrt{a^2}

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

z = x + iy\,

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,

\bar{z} = x - iy

es el conjugado de z, entonces se verifica que:

|z| = r\,

|z| = |\bar{z}|

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Programación del valor absoluto

En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl().
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:

int abs (int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}

Sin embargo, al tratar con puntos flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.^{[cita requerida]}
Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:

http://youtu.be/Zy2xbX1-Y6E

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES

EJEMPLOS FUNCION DEFINIDA POR PARTES

4f(x) = sgn(x)

5f(x) = E(x)

6f(x) = x − E(x)

7f(x) = x + 1 − E(x)

8f(x) = 2x − E(x)

9f(x) = E(x/2)

10Encuentra la expresión analítica de la función

http://www.vitutor.com/fun/2/t_e.html

GRÁFICA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax² es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 34_2010

Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno. Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:

Donde x₁ y x₂ son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas